Срочно y''-8y'+7y=2*e^5x

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Классификация: дифференциальное уравнение второго порядка, линейное и неоднородное.
Нам найти нужно:
Yo.н. = Yо.о. + Yч.н.
Где Yо.н. - неоднородное ур., Yо.о. - общее однородное, Yч.н. - частное неоднородное.

1) Yо.о: Найдем решение однородного уравнения
$y''-8y'+7y=0$
Воспользуемся методом Эйлера и перейдем к характеристическому уравнению:
$y=e^{kx}$ ⇒ $k^2-8k+7=0$
По т. Виета: $k_1=1;\,\,\,\,\, k_2=7$
Имеем 2 действительных различных формы, которые соответствуют частные решения вида $y_1=e^{x};\,\,\, y_2=e^{7x}$
Тогда $\boxed{y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^x+C_2e^{7x}}$

2) Определим Уч.н.( $C_1,C_2$ принимаем за функции).
$f(x)=2e^{5x}$ , $\Rightarrow \alpha =2;\,\,\, P_n(x)=2;\,\,\,\, n=0$ , где $P_n(x)$ - многочлен степени n.

Тем самым убеждаемся что правая часть относится к первому специальному виду:
Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимания, что n=0 частное решение будем искать в виде:
Уч.н. $=e^{5x}\cdot A$
Чтобы определить коэффициент А, подставим Уч.н. в исходное уравнение, вычислив предварительно производные:
$y'=5Ae^{5x}\\ \\ y''=25Ae^{5x}$
Подставим полученное выражение в исходное уравнение, сокращая на $e^{5x}$
$25A-8\cdot 5A+7\cdot A=2\\ 25A-40A+7A=2\\ -8A=2\\ A=- \frac{1}{4}$
Найденный коэффициент подставим в Уч.н.
Уч.н. $=- \dfrac{e^{5x}}{4}$

Тогда общее неоднородное диф. уравнение имеет вид:
$\boxed{Y_{O.H.}=C_1e^x+C_e^{7x}-\dfrac{e^{5x}}{4} }$

Ответ: $C_1e^x+C_e^{7x}-\dfrac{e^{5x}}{4}$

аноним 12 Май, 18