Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна...

0 голосов
129 просмотров

Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которого стеклянная, а остальные три из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а площадь пола 80 м^2. Известно, что 1 м^2 стеклянной стены стоит 750 руб, а обычной - 500 руб. Какова наименьшая общая стоимость (в рублях) постройки четырёх стен комнаты?


Математика (15 баллов) | 129 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Пусть стороны пола равны a и b. Пусть так же a
Очевидно что у нас есть две стены со сторонами a и h, и две со сторонами b и h, где h=4 - высота комнаты. Очевидно, что наименьшая сумма достигается, когда мы делаем стеклянной маленькую стенку со сторонами a и h.

Найдем эту сумму
P = 500ah+750ah+500bh+500bh = 1000h(b+1.25a)

Она пропорциональна (b+1.25a). Найдем при каких a и b эта сумма наименьшая, с учетом что ab=80

ab = 80 \rightarrow b = 80/a\\\\
\frac{80}{a}+1.25a \quad-\quad min\\\\
(\frac{80}{a}+1.25a)' = \frac{-80}{a^2}+1.25 = 0\\\\
a_{min} = \sqrt{80/1.25} = 8

Из равенства нулю производной, нашли что a=8, значит b=10, значит наименьшая смета

P_{min}=1000\cdot4(10+10) = 80000


(57.6k баллов)