а) AA1 и СС1 - высоты треугольника ABC, АС = 10, А1С1 = пять квадратных корней из двух....

Question

а) AA1 и СС1 - высоты треугольника ABC, АС = 10, А1С1 = пять квадратных корней из двух. Чему равен угол АВС (первая лемма о высотах).
Очевидно,что треугольник ABC подобен A1BC1... а также коэффициент подобия вычислить не трудно, но вот что дальше?
Сразу говорю, решение в интернете через теорему косинусов и якобы "деления" двух равенств(практически абсолютно одинаковых) видела. Но ведь там же точно ошибка!
В общем, сломала голову и прошу помощи у умных и, надеюсь, добрых людей:)подскажите направление, пожалуйста.

Answer 1

Задача сводится к такому смешному вопросу - какую дугу (в градусах, например) стягивает хорда 5√2 в окружности радиуса 5 (эта окружность построена на стороне АС как на диаметре и проходит через точки С1 и А1).
Ясно, что это дуга 90° (четверть окружности);
отсюда угол ABC = (180° - 90°)/2 = 45°;

Comments

Я надеюсь, что понятно, почему угол В "равен" полуразности дуг АС и А1С1; но если НЕ понятно, то угол АА1С - внешний угол треугольника АА1В, и равен сумме углов А1АВ и А1ВА (а это угол АВС).

---

Попытаюсь разобраться, но данная задача - из задания по планиметрии ЗФТШ, где нет ни слова о хордах, дугах, да и о окружностях, за исключением радиусов описанных и вписанных около прямоугольных треугольников. Поэтому данное решение весьма неожиданно. В любом случае большое спасибо!)

---

Геометрии про ЗФТШ ничего не известно :))) Она как-то сама по себе. Так что надо сразу определиться, с кем Вы - с геометрией или с ЗФШТ ( понятия не имею, как это расшифровывается). А задача элементарная. И вообще - когда речь идет про высоты - всегда надо держать в голове, что построенная на стороне, как на диаметре окружность проходит через основания двух высот.

---

конечно, это НЕ ВСЁ, что надо держать в голове :))) но это тоже надо :))) (это - милая ненавязчивая шутка, не содержащая ни миллиграмма грубости)

---

заочная школа, присылаются методички с теоритическим материалом, на основе которого, как правило и задаются энное кол-во задач. Вообще, я думала, что решение будет основано на подобии отсечённого отрезком, соединяющим высоты от изначального. Они будут подобны по "первой лемме о высотах", ну и что-то через коэффициент подобие) будем разбираться) и спасибо за совет, сейчас же сяду разбираться с этой темой)

---

Да можно так долго разбираться. Найдите и разберите доказательство (самое распространенное), что высоты треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника. Вся "тема" сразу "ляжет в голову".

---

Я кажется безнадёжно туплю. Верно, доказательство этой теоремки напрямую зависит от первой леммы о высотах, но только как биссектрисы ортотреугольника помогут мне в нахождении угла?) тем более, что нам и длины высот то не дали. Короче запуталась окончательно)

---

кстати, через "коэффициент подобия" эта задача тоже решается элементарно - это коэффициент равен cos(B) (ВА1 = ВА*cos(B); BC1 = BC*cos(B);) поэтому А1С1 = АС*cos(B); cos(B) = 5√2/10 = √2/2; B = 45°;