Дано:
∆ ABC,
CK — медиана и биссектриса
Доказать:
∆ ABC — равнобедренный.
Проведем анализ задачи:
На основе каких данных можно утверждать, что треугольник — равнобедренный? Если у него две стороны равны либо два угла равны. Значит, нам нужно доказать либо равенство сторон AC и BC, либо равенство углов A и B. Любое из этих равенств следует из равенства треугольников.
В треугольниках AKC и BKC биссектриса CK образует равные углы ACK и BCK, медиана CK — равные отрезки AK и BK. Сторона CK — общая.
Что мы имеем? Две стороны, но нет угла между ними. Ни к одной из сторон нет двух прилежащих углов. Признаки равенства треугольников применить не можем.
В таком случае придется выполнять дополнительные построения.
На луче CK отложим отрезок KE так, чтобы KE=CK, и точки A и E соединим отрезком. Получили еще один треугольник AKE.
Мы можем доказать, что этот треугольник равен треугольнику BKC (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства этих треугольников следует равенство сторон AE и BC и углов AEK и BCK.
Получается, что в треугольнике ACE имеется два равных угла AEK и ACK. Поэтому он — равнобедренный, откуда легко доказывается и равенство сторон AC и ВС. Осталось записать доказательство.
Доказательство:
На луче CK отложим отрезок KE, KE=CK.
Рассмотрим треугольники AKE и BKC:
1) AK=BK (так как CK — медиана по условию)
2) KE=CK (по построению)
3) ∠AKE=∠BKC (как вертикальные).
Следовательно, ∆ AKE=∆ BKC (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE=BC и соответствующих углов: ∠AEK=∠BCK.
По условию, ∠BCK=∠AСK. Поэтому ∠AEK=∠AСK.
Таким образом получили, что в треугольнике ACE два угла равны. Значит, ∆ ACE — равнобедренный с основанием CE (по признаку). Следовательно, его боковые стороны равны: AE=AC.
А поскольку уже доказали, что AE=BC, то и AС=BС. Поэтому ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению).
