Около равнобедренного прямоугольного треугольника описана окружность длинной 8П. Найдите...

Пусть окружность с центром О описана около прямоугольного равнобедренного треугольника АВС (∠С=90°). Тогда вписанный в окружность угол С опирается на дугу АС=2*90°=180°. Значит, хорда АВ - диаметр окружности. Поэтому точка О делит гипотенузу АВ пополам.

Из длины окружности найдем радиус:

С=2ПR

8П=2ПR

R=4.

Тогда АВ=2*4=8.

По теореме Пифагора АВ²=АС²+ВС². По свойству равнобедренного треугольника АС=ВС.

Тогда АВ²=2АС²

$AC^2=\frac{AB^2}{2}=\frac{64}{2}=32\\\ AC=\sqrt{32}=4\sqrt2.$

Для прямоугольного треугольника

$S=\frac{1}{2}*AC*BC=\frac{1}{2}AC^2=\frac{1}{2}*32=16$