сколько целочисленный решений имеет неравенство x в 4ой степени больше 9x

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

0" alt="x^4-9*x>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

0" alt="x*(x^3-9)>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Раскладываем вторую скобку по формуле разности кубов

0" alt="x*(x-9^{\frac{1}{3}})*(x^2+9^{\frac{1}{3}}*x+9^{\frac{2}{3}})>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Заметим, что неполный квадрат в третьей скобке всегда положителен

Докажем это

$x^2+9^{\frac{1}{3}}*x+9^{\frac{2}{3}}=0,25*x^2+9^{\frac{1}{3}}*x+9^{\frac{2}{3}}+0,75*x^2=$

$=0,25*x^2+2*9^{\frac{1}{3}}*0,5*x+9^{\frac{2}{3}}+0,75*x^2=$

$=(0,5*x+9^{\frac{1}{3}})^2+0,75*x^2\geqslant 0$

Так как квадраты не могут быть отрицательными.

Значит можно рассмотреть неравенство методом интервалов.

1) При х<0 первый множитель будет меньше нуля, второй тоже меньше нуля. Два множителя меньше нуля дадут положительное число. А третий будет положительным. Значит все выражение в левой части будет положительным.</p>

2) При $x\in(0;9^{\frac{1}{3}})$ Первый множитель будет больше нуля, второй меньше нуля, а третий как всегда положителен. Отрицательный множитель помноженный на положительные множители даст в итоге отрицательное число.

3) 9^{\frac{1}{3}}" alt="x>9^{\frac{1}{3}}" align="absmiddle" class="latex-formula">

Первый множитель будет положителен, второй тоже положителен. А третий как всегда положителен. Значит в итоге, перемножив три положительных числа, получим положительное число.

В ответе получим два промежутка из первого и третьего случаев.

$x\in(-\infty;0)\cup(9^{\frac{1}{3}};\infty)$

Заметно, что целочисленных решений будет бесконечно много. Это и все отрицательные целые числа и целые числа большие 2. Так как $2<9^\frac{1}{3}<3$

Решений, так сказать, счетное множество.

Ну, а если бы был бы в неравенстве противоположный знак, то было бы всего два решения из второго случая. Это числа 1 и 2.

bearcab_zn (114k баллов) 11 Март, 18