Определить наименьший положительный период данной функции

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Ниже используется определение периодической функции.

Юля, я доказывал в прошлых задачах, что $2\pi$ - период синуса и косинуса.

В силу того, что $tg(x)= \frac{sin(x)}{cos(x)}$ , то $2\pi$ также есть периодом и тангенса. Это наименьший его период? Нет не наименьший. Наименьшим положительным периодом тангенса есть число $\pi$ . Можно показать, что $tg(x)=tg(x+\pi)=tg(x-\pi)$ (например с помощью тригонометрического круга). И останется доказать, что это именно наименьший возможный положительный период тангенса.

Если $T$ - положительный период тангенса, то выполняется $tg(T)=tg(0+T)=tg(0)=0$ .

На интервале $(0;\pi)$ тангенс нулей не имеет, это означает, что $T \geq 2\pi$ .
Выше доказано, что $\pi$ - период функции тангенса, и, значит, $\pi$ - наименьший положительный период тангенса.

Пользуясь этим, период функции $tg(4x)$ будет в 4 раза меньше, график функции $tg(4x)$ - это тот же график $tg(x)$ , только сжатый по оси ОХ в 4 раза.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

90misha90_zn (30.4k баллов) 29 Апр, 18