1) Подставляя в уравнение sin²(x)=1-cos²(x), приходим к уравнению
cos²(x)-3*sin(x)*cos(x)+1=0. Деля это уравнение на cos²(x), получим уравнение 1-3*tg(x)+1/cos²(x)=0. Но 1/cos²(x)=1+tg²(x), и мы получаем уравнение tg²(x)-3*tg(x)+2=0. Обозначая tg(x)=t, приходим к уравнению t²-3*t+2=0. Дискриминант D=(-3)²-4*1*2=1, t1=tg(x1)=(3+1)/2=2, x1=arctg(2)+π*n, n∈Z. t2=tg(x2)=(3-1)/2=1, x2=arctg(1)+π*k=π/4+π*k, k∈Z. Ответ: x1=arctg(2)+π*n, x2=π/4+π*k, k,n∈Z.
3) Находим нули числителя и знаменателя. Знаменатель обращается в 0 при x=0, а для определения нулей числителя нужно решить квадратное уравнение x²-x-2=0. Дискриминант D=(-1)²-4*1*(-2)=9=3². Тогда x1=(1+3)/2=2, x2=(1-3)/2=-1. Значит, числитель можно записать в виде (x-2)*(x+1) и мы получаем неравенство (x-2)*(x+1)/x≥0. Пусть x<-1 - например, пусть x=-2. Тогда дробь принимает значение -2<0. Пусть теперь -1<x<0 - например, пусть x=-1/2. При x=-1/2 дробь принимает значение 5/2>0. Пусть 02 - например, пусть x=3. При x=3 дробь принимает значение 4/3>0. Значит, неравенство выполняется на интервалах [-1;0) и [2;+∞).
Ответ: [-1;0)∪[2;+∞).
4) Производная f'(x)=3*x²-6*x=x*(3*x-6)=0 при x=0 и при x=2. При x<0 f'(x)>0, при 02 f'(x)>0. Функция возрастает на интервалах (-∞;0) и (2;+∞) и убывает на интервале (0;2). Значит, точка x=0 есть точка максимума и f(0)=9, а точка x=2 есть точка минимума, причём f(2)=5. Однако по условию нас интересует лишь интервал [1;3]. На интервале [1;2) функция монотонно убывает, на интервале (2;3] функция монотонно возрастает. При этом f(1)=7, а f(3)=9, поэтому максимальное значение функция принимает при x=3. Ответ: Ymin=5, Ymax=9.
5) Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем уравнение 3*x+1=x²-2*x+1, или x²-5*x=x*(x-5)=0. Отсюда x1=0, x2=5. Но корень x=0 не годится, так как при x=0 √(3*x+1)=√1=1, а x-1=-1. Ответ: x=5.
6) Так как функция y=lg(x) - возрастающая, то из неравенства lg(x1)>lg(x2) следует неравенство x1>x2. Поэтому наше неравенство равносильно неравенству 2*x+3>x+1 с учётом условий 2*x+3>0 и x+1>0, или x>-3/2 и x>-1. Оба условия выполняются при x>-1. Решая неравенство 2*x+3>x+1, находим x+2>0, или x>-2. С учётом условия >-1, находим удовлетворяющий неравенству интервал (-1;+∞). Ответ: x∈(-1;+∞).