Используя метод математической индукции, докажите, что при любом натуральном n

1) проверяем справедливость при n=1.
$2^{8}+5*3^3=256+135=391\\\frac{391}{17}=23$
верно.

2) предполагаем что утверждение верно для n, тогда оно будет верно и для (n+1). Проверяем.
$2^{5(n+1)+3}+5^{n+1}*3^{(n+1)+2}=2^{5n+3+5}+5^{n+1}*3^{n+2+1}=\\=2^{5n+3}*2^5+5^n*5^1*3^{n+2}*3^1}=2^{5n+3}*32+5^n*3^{n+2}*15=\\=2^{5n+3}*(17+15)+5^n*3^{n+2}*15=\\=2^{5n+3}*17+2^{5n+3}*15+5^n*3^{n+2}*15=\\=2^{5n+3}*17+(2^{5n+3}+5^n*3^{n+2})*15$

1 слагаемое суммы делиться на 17, т.к. содержит такой множитель.
2 слагаемое суммы тоже делится на 17, т.к. выражение в скобках делится на 17(по нашему предположению).
Значит и сумма делится на 17.

Согласно методу мат. индукции это будет справедливо для любых натуральных n.