Помогите, пожалуйстаааааааааааааа

Question

Дан 1 ответ

Minsk00_zn · Answer 1 · 2018-04-25T21:49:45+0000

$\int\limits { \frac{2^x}{ \sqrt{1-4^x} }} \, dx$
делаем замену переменных
$2^{x} =t$
Поэтому
$2^{x}ln2dx= dt$ или $2^{x}dx = \frac{dt}{ln2}$
Подставляем полученные выражения под знак интеграла получим
$\int\limits { \frac{2^x}{ \sqrt{1-4^x} }} \,dx=\int\limits { \frac{dt}{ ln2\sqrt{1-t^2} }}= \frac{1}{ln2}\int\limits { \frac{dt}{\sqrt{1-t^2} }}= \frac{arcsin(t)}{ln2}+C= \frac{arcsin(2^x)}{ln2}+C$

$\int\limits{ \frac{1}{3e^x-2}} \, dx$
делаем замену переменных
$e^x=u$
Поэтому
$e^xdx=dt$ или $dx = \frac{du}{u}$
Подставим полученные выражения под знак интеграла
$\int\limits{ \frac{1}{3e^x-2}} \, dx= \int\limits{ \frac{1}{u(3u-2)}} \, du$
Дробь под знаком интеграла раскладываем на простые
$\frac{1}{u(3u-2)}= \frac{A}{u}+ \frac{B}{3u-2}= \frac{A(3u-2)+Bu}{u(3u-2)}= \frac{u(3A+B)-2A}{u(3u-2)}$
Неизвестные коэффициенты А и В найдем решив систему уравнений
$\left \{ {{3A+B=0} \atop {-2A=1}} \right.$
$\left \{ {{B=-3A} \atop {A=- \frac{1}{2}}} \right.$
$\left \{ {{B= \frac{3}{2} } \atop {A=- \frac{1}{2}}} \right.$
Подставим все под знак интеграла
$\int\limits{ \frac{1}{u(3u-2)}} \, du=\int\limits{(- \frac{1}{2u}+ \frac{3}{2(3u-2)})} \, du=- \frac{1}{2} \int\limits{ \frac{1}{u}} \, du+ \frac{1}{2}\int\limits{ \frac{1}{3u-2}} \, d3u=$
$=- \frac{1}{2}ln(u)+ \frac{1}{2}ln(3u-2)+C = - \frac{1}{2}ln(e^x)+ \frac{1}{2}ln(3e^x-2)+C=$
= $- \frac{x}{2}+ \frac{1}{2}ln(3e^x-2)+C$