Мне всегда нравилось применение формулы Герона для вычисления площади, например, прямоугольного треугольника. Самое замечательное, что это верное решение :)
Итак, треугольник имеет стороны 10, 10, 12.
Не трудно увидеть, что высота к основанию делит треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника с гипотенузой 10 и катетом 6. Ясно, что второй катет такого треугольника (то есть высота исходного равнобедренного треугольника, проведенная к основанию) равен 8.
То есть, по-просту, там получилось два "египетских" треугольника 6,8,10 .
Теперь - задачи.
1. Центр вписанной окружности лежит на высоте к основанию (длины 8, больше повторять не буду). Он равноудален от основания и боковой стороны. Треугольник, образованный радиусом, проведенным в точку касания вписанной окружности с боковой стороной и отрезками высоты (от противоположной основанию вершины до центра) и боковой стороны (от этой вершины до точки касания) - очевидно подобен треугольнику 6, 8, 10 (по двум углам :)).
То есть
(8 - r)/r = 10/6;
r = 3.
2.
Диаметр описанной окружности тоже легко построить геометрически, после чего он вычисляется из элементарной пропорции. Для этого надо продлить высоту к основанию за основание, а из любого из концов основания провести перпендикуляр к боковой стороне до точки пересечения с продолжением высоты. Гипотенуза поученного прямоугольного тр-ка как раз и есть диаметр описанной окружности. Этот треугольник (опять таки :)) подобен треугольнику 6 , 8, 10 (и опять по двум углам - один прямой и один общий :)).
То есть
D/10 = 10/8;
D = 25/2, а радиус в 2 раза меньше.
R = 25/4;
Длинные тексты не должны обманывать - эти решения совершенно элементарны и не используют никаких формул, кроме простых пропорций для подобных треугольников.
Решение "предыдущего товарища" ничем не хуже, просто такие решения обычно делаются "для отметки", а не для понимания. Если бы размеры треугольника были бы, к примеру, 7, 7, √3, применение формул S = pr и R = abc/4S даже в улучшенной редакции (без применения формулы Герона) стало бы затруднительным.
Есть и еще одно - дотошный экзаменатор на каком-нибудь приемном экзамене (где они еще есть) может, получив такое решение, попросить вывести эти формулы. И если вывод двух формул для радиусов очень прост, то для вывода формулы Герона требуется известная подготовка.
Конечно, автору задачи надо было "скорее, пока контрольная". Но это его личные трудности, мне они как-то не интересны, а подобные решения типовой простенькой задачки могут кому-то пригодиться.