1) √(х-6) = х-7 |²
х - 6 = х² -14х +49
х² -15х +55 = 0
D = b² -4ac = 225 - 220 = 5
x1 = (15+√5)/2
х2 = (15 - √5)/2
Т.к. после возведения в квадрат могут появиться посторонние корни, необходимо исследовать ОДЗ
х - 6 ≥ 0 , ⇒ x ≥ 6
a) x = (15 +√5)/2
(15 +√5)/2 ≥ 6, (15 +√5)/2 - 6 ≥ 0, ⇒ 15 + √5 -12 ≥ 0 ( истинное высказывание)
б) x = (15 -√5)/2
(15 -√5)/2 ≥ 6, (15 -√5)/2 - 6 ≥ 0, ⇒ 15 - √5 -12 ≥ 0 ( истинное высказывание)
Ответ : х = (15 +√5)/2
х = (15 -√5)/2
2) логарифмы равны, значит, равны и выражения, стоящие под знаком логарифмов:
х³ -5х² +6х +7 = х³ -4х² +7х +1
-х² - х +6 = 0
х² + х - 6 = 0
по т. Виета х = -3 и х = 2
Теперь про ОДЗ
логарифм отрицательного числа и нуля не существует. Поэтому найденные корни просто проверим ( чтобы не решать тягомотные неравенства)
а) х = -3
х³ -5х² +6х +7 = (-3)³ - 5*(-3)² +6*(-3) + 7 = -27 -45 -18 +7 <0<br>б) х = 2
х³ -5х² +6х +7 = 2³ - 5*2² + 6*2 + 7 = 8 -20 +12 +7 > 0
х³ - 4х² + 7х +1 = 2³ -4*2² +7*2 +1 = 8 -16 +14 +1 >0
Ответ: 2
3) Произведение = 0,если один из множителей =0. У чтём при этом, что подкоренное выражение ≥ 0
х² -5х +14 = 0 или х - 6 = 0
По т. Виета х = 7 и - 2 х = 6
х - 6 ≥ 0, ⇒ х ≥ 6
Ответ: 6 и 7
4) Дроби равны, знаменатели равны, значит, равны и числители ( учтём, что знаменатели ≠0)
Sin2πx = 1
2πx = π/2 + 2πk , k ∈Z
x = 1/4 + k , k ∈Z
4x - 1 ≠ 0
4x ≠ 1
x ≠ 1/4
Ответ: х = 1/4 + k , k ∈Z, k ≠ 0
5) √(3x -2) ≤ x |², ⇒ 3x - 2 ≤ x², -x² +3x -2 ≤ 0, x∈(-∞;1]∪[2;+∞)
3x -2≥ 0, ⇒ 3x ≥ 2, ⇒ х∈ [2/3; +∞)
x ≥ 0, x ≥ 0 х∈[ 0;+ ∞)
Ответ: х ∈[2/3; 1] ∪ [2;+∞)