В самом лучшем случае в одном ящике лежат 4 шарика все разные.
То есть достаточно 1 ящика.
В самом худшем случае необходимо 2 ящика.
Например, в 1 ящике лежат 2 красных и 2 синих,
во 2 ящике 2 синих и 2 зеленых, в 3 ящике 2 зеленых и 2 желтых,
в 4 ящике 2 желтых и 2 красных, в 5 ящике 2 красных и 2 зеленых,
и в 6 ящике 2 синих и 2 желтых.
Тогда достаточно взять 5 и 6 ящики.
Если даже в каком-то ящике лежит 4 одинаковых шарика, то остальные 2 будут в другом ящике, то есть там будут шарики как минимум 2 цветов, а в каком-то другом ящике - 2 других цветов.
Взяв эти 2 ящика, мы возьмем все 4 цвета.
Ответ: 2 ящика.