Решите уравнение a^4+8a^3+8a^2-32a-240=0

$a^{4}+8a^{3}+8a^{2}-32a-240=0$

произведём замену переменных

$x=a^{2}+4a$

$x^{2}-8x-240=0$

Cчитаем дискриминант:

$D=(-8)^{2}-4\cdot1\cdot(-240)=64+960=1024$

Дискриминант положительный

$\sqrt{D}=32$

Уравнение имеет два различных корня:

$x_{1}=\frac{8+32}{2\cdot1}=\frac{40}{2}=20$

$x_{2}=\frac{8-32}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12$

исходное уравнение сводится к уравнению

$a^{2}+4a=-12$

$a^{2}+4a=20$

================================================

Случай 1

$a^{2}+4a=-12$

$a^{2}+4a+12=0$

Cчитаем дискриминант:

$D=4^{2}-4\cdot1\cdot12=16-48=-32$

Дискриминант отрицательный, следовательно уравнение не имеет действительных решений

=================================================

Случай 2

$a^{2}+4a=20$

$a^{2}+4a-20=0$

Cчитаем дискриминант:

$D=4^{2}-4\cdot1\cdot(-20)=16+80=96$

Дискриминант положительный

$\sqrt{D}=4\sqrt{6}$

Уравнение имеет два различных корня:

$a_{1}=\frac{-4+4\sqrt{6}}{2\cdot1}=\frac{2(-2+2\sqrt{6})}{2}=-2+2\sqrt{6}$

$a_{2}=\frac{-4-4\sqrt{6}}{2\cdot1}=\frac{2(-2-2\sqrt{6})}{2}=-2-2\sqrt{6}$

Ответ: $a_{1}=-2+2\sqrt{6}$ ; $a_{2}=-2-2\sqrt{6}$