Найти значение: Cos( 1/2 ArcCos 3/5- 2*ArcCtg (-2))= ?

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Функция арккотангенса даёт значения в интервал $E(arcctg(x)) \equiv ( 0 ; \pi ) ,$ причём во второй четверти $ctg(x)$ – отрицателен, поэтому от отрицательных аргументов функция арккотангенса даёт значения в интервал $( \frac{ \pi }{2} ; \pi ) .$

Итак: $arcctg(-2) \in ( \frac{ \pi }{2} ; \pi )$ и $2 arcctg(-2) \in ( \pi ; 2 \pi )$

Поскольку: $\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \ \ || : \cos^2{x}$

$1 + \frac{1}{ ctg^2{x} } = \frac{1}{ \cos^2{x} }$ ;

то: $\cos^2{x} = \frac{1}{ 1 + 1/ctg^2{x} }$ ;

В нашем случае:

$\cos^2{ arcctg(-2) } = \frac{1}{ 1 + 1/ctg^2{ arcctg(-2) } } = \frac{1}{ 1 + 1/(-2)^2 } = \frac{1}{ 1 + 1/4 } = \frac{1}{ 5/4 } = \frac{4}{5}$ ;

$\cos{ ( 2 arcctg(-2) ) } = 2 \cos^2{ arcctg(-2) } - 1 = 2 \cdot \frac{4}{5} - 1 = \frac{8}{5} - 1 = \frac{3}{5}$ ;

Причём с учётом знака косинуса, ясно, что: $2 arcctg(-2) \in ( \frac{3}{4} \pi ; 2 \pi ) ,$

Тогда: $2 arcctg(-2) = 2 \pi - \arccos{ \frac{3}{5} }$ ;

Учитывая, что:

$| \cos{ \frac{x}{2} } | = \sqrt{ \frac{ 1 + \cos{x} }{2} }$

и что: $| \sin{ \frac{x}{2} } | = \sqrt{ \frac{ 1 - \cos{x} }{2} }$

и что: $\arccos{ \frac{3}{5} } \in ( 0 ; \frac{\pi}{2} ) ,$ из исходного получаем, что:

$\cos{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } - 2 arcctg(-2) ) } = \cos{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } - 2 \pi + \arccos{ \frac{3}{5} } ) } =$

$= \cos{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } + \arccos{ \frac{3}{5} } ) } =$

$= \cos{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } ) } \cdot \cos{ \arccos{ \frac{3}{5} } } - \sin{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } ) } \cdot \sin{ \arccos{ \frac{3}{5} } } =$

$= \frac{3}{5} \cos{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } ) } - \frac{4}{5} \sin{ ( \frac{1}{2} \arccos{ \frac{3}{5} } ) } =$

$= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{ \sqrt{5}} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{ \sqrt{5} } = \frac{6}{ 5\sqrt{5} } - \frac{4}{ 5 \sqrt{5} } = \frac{2}{ 5\sqrt{5} } = \frac{ 2\sqrt{5} }{25}$ ;

О т в е т : $\frac{ 2\sqrt{5} }{25} .$

gartenzie_zn (8.4k баллов) 13 Апр, 18