1) Отгадка - шахматы.
2) Двойной смысл появился из-за употребления омонима "клетки".
В виде шуточной иллюстрации можно было бы нарисовать коня, слона или короля с королевой (толкающих друг друга пиками и мечами), сидящих в железных клетках. Но, зная истинный смысл стихотворения, нарисовать зверей и людей, стоящих на шахматной доске в черно-белую клетку.
3)
а) короли, королевы, сражаться - непроверяемые гласные в корне слов.
б) что делать? - сражаться, что сделать? - удержаться ;
не могут, не сражаться - "не" с глаголами пишутся раздельно.