Около правильного треугольника описана окружность R=10 корней из 3 найти r вписано...

Достаточно просто знать несколько соотношений в правильном треугольнике:

$r= \frac{ \sqrt{3}}{6}a\\\\R= \frac{\sqrt{3}}{3}a$ , где

$a$ - сторона треугольника
$r$ - радиус вписанной окружности
$R$ - радиус описанной окружности

Из данных соотношений следует:

$R=2r$

Значит $r= \frac{R}{2}= \frac{10 \sqrt{3}}{2}=5 \sqrt{3}$