Дано: треугольник АВС , АВ=10см,ВС=12см, угол В=45 градусов, найти площадь треугольника

Берём нужную готовую формулу и вычисляем:

$S= \frac{ab\cdot sin\ \alpha }{2}= \frac{10\cdot12}{2}\cdot sin\ 45^0=60\cdot \frac{ \sqrt{2}}{2}=30 \sqrt{2}$ см²

Раз с синусами нельзя, то тогда так:
Проводим высоту СН, обозначим для удобства h.
ΔВСН - прямоугольный равнобедренный (объяснять, я думаю, не нужно почему)
СН=ВН=h
По т. Пифагора находим:
$h^2+h^2=BC^2\\2h^2=12^2\\2h^2=144\\h^2=72\\h= \sqrt{72}=6 \sqrt{2}\\\\S= \frac{AB\cdot h}{2}=\frac{10\cdot6 \sqrt{2}}{2}=30 \sqrt{2}\ cm^2$