SABCD=EF*(AD+BC)/2=1500
PABCD=AB+BC+CD+AD=200
AB=CD (так как трапеция равнобедренная). Чтобы окружность можно было вписать в трапецию должно выполняться условие - суммы противоположных сторон трапеции должны быть равны, т.е.
AD+BC=AB+CD
AD+BC=2AB (т.к. AB=CD)
Тогда: PABCD=AB+BC+CD+AD=AB+2AB+AB=4AB=200
AB=50
Значит, AD+BC=2*50=100
SABCD=EF*(AD+BC)/2=EF*100/2=EF*50=1500
EF=30
Проведем высоту BH, как показано на рисунке.
BH=EF=30, так как BEFH - прямоугольник.
AH=(AD-BC)/2
По теореме Пифагора:
AB^2=BH^2+AH^2
50^2=30^2+AH^2
2500=900+AH^2
1600=AH^2
40=AH=(AD-BC)/2
80=AD-BC, вспомним, что AD+BC=100
80=AD-(100-AD)
80=AD-100+AD
180=2AD
AD=90
Тогда BC=100-90=10
Рассмотрим треугольники AKF и CKE
AF=AD/2=45
CE=BC/2=5
∠AFK=∠CEK=90°
∠AKF=∠CKE (т.к. они вертикальные)
По первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.
Тогда, AF/CE=KF/KE
45/5=KF/KE
9=(EF-KE)/KE (вспомним, что EF=30)
9KE=30-KE
10KE=30
KE=3
Ответ: KE=8