Задачки муторные, но простые.
1. Назовем трапецию АВСD, тогда: СВ=8, AD=14, а ∠В=120.
∠С=∠В=120(по св-ву равнобедренной трапеции), найдем ∠А и ∠D, исходя из того, что сумма всех углов трапеции (Впрочем, как и любого четырехугольника) равна 360:
=60
Проведем высоты ВН и СМ, рассмотрим ΔАВН(можно рассматривать любой из двух, так как они равны по 2м сторонам и ∠ между ними(если что, докажете сами)):
∠ВНА=90(по опр. высоты)
∠А=60(см.ран.)
Найдем ∠ АВН по теореме о сумме углов треугольника(она равна 180):
180 - 90 - 60=30
Тем временем, вспомним про четырехугольник ВНМС, это прямоугольник(по опр.)⇒ВС=НМ(по св-ву)⇒НМ=8.
Теперь найдем АН=МD=
=3
Вернемся к нашему треугольнику ΔАВН:
Так как ∠АВН=30, а АН=3, то по теореме об угле в 30 в прямоугольном треугл.(напротив него лежит сторона равная половине гипотенузы):
АВ=АН · 2
АВ = 3 ·2
АВ = 6
АВ=СD=6(по опр. равноб. трап.)
2. Опять же обозначим трапецию как АВСD, чтобы AD=16, АВ=10,∠А=60.
Проведем высоты ВН и СМ. И рассмотрим ΔАВН:
∠ВАН=90(по св-ву равноб.трап.)
Найдем ∠АВН: 180-90-60=30 ⇒ напротив ∠АВН лежит катет, равный половине гип.(по теореме об угле 30 градусов и т.д.), то есть АН=АВ ÷ 2
АН=10 ÷ 2=5
АН=МD(как соответственные элементы в равных Δ(равенство, если понадобится, докажете через угол и стороны)
Рассмотрим четырехугольник ВНМС, это прямоугл.(по опр.)⇒ВС=НМ(по св-ву). Найдем НМ:
16 - 5 -5 =6
Тогда и ВС=6
3.Она интереснее, то аналогичная предыдущим.
Опять же трапеция у нас - АВСD. АС - биссектр., АD=12, ∠D=60.
∠А=∠D=60(по св-ву равноб. трап.)
АС - биссектр.(по усл.)⇒∠САD=∠АСВ=30(по опр. биссекр.)
По теореме о сумму ∠ Δ, найдем ∠АСD:
180 - 30 - 60 = 60 ⇒ ΔАСD - прямоугольный(по опр.)
⇒применима теорема об угле в 30 в прямоугл. Δ: CD=
AD, то есть СD=12÷2=6
Далее делаем все также, как и в предыдущих задачах:
1. Проводим высоты(СМ и ВН, например)
2.Рассматриваем получившиеся треугольники, в которых один из углов снова 30 градусов(в ΔМСD ∠MCD=30)
3.Находим меньший катет, равный половине гипотенузы(МD=АН=6÷2=3(как я писать не надо!)
4.Кратенько доказываем, что ВСМН - прямоугл.
5. Затем из основания ВСМН вычитаем АН и НD(12-6=6)
Меньшее основание равно 6.Периметр: 6+6+6+12=30