Про некоторую дробь с положительными числителем и знаменателем известно, что при...

Question

Про некоторую дробь с положительными числителем и знаменателем известно, что при увеличении её числителя и знаменателя на 12, она сама увеличится в 3 раза. Найдите все такие несократимые дроби. В ответе укажите сумму сумму дробей, обратных к полученным. Если таких дробей нет, укажите в ответе 0.

Answer 1

Получаем уравнение:
(a+12)/(b+12) = 3*a/b
b(a + 12) = 3a(b + 12)
ab + 12b = 3ab + 36a
12b = 2ab + 36a
6b = ab + 18a = a(b + 18)
a = 6b/(b + 18) = (6b + 6*18 - 6*18)/(b + 18) = 6 - 108/(b + 18)
Чтобы а было натуральным, 108/(b + 18) должно быть < 6 и целое.
108 = 2^2*3^3 = 6*18 = 4*27 = 3*36 = 2*54 = 1*108
1) b + 18 = 18; b = 0 - не подходит
2) b + 18 = 27; b = 9; a = 6 - 108/27 = 6 - 4 = 2; a/b = 2/9
3) b + 18 = 36; b = 18; a = 6 - 108/36 = 6 - 3 = 3; a/b = 3/18 = 1/6
4) b + 18 = 54; b = 36; a = 6 - 108/54 = 6 - 2 = 4; a/b = 4/36 = 1/9
5) b + 18 = 108; b = 90; a = 6 - 108/108 = 6 - 1 = 5; a/b = 5/90 = 1/18
Ответ: 9/2 + 6 + 9 + 18 = 4,5 + 15 + 18 = 37,5