Помогите решить задачку ,очень срочно , заранее спасибо Cередина диагонали AC...

0 голосов
37 просмотров

Помогите решить задачку ,очень срочно , заранее спасибо
Cередина диагонали AC четырехугольника ABCD, вписанного в окружность,лежит на диагонали BD . Доказать , что AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2BD^2


Геометрия (24 баллов) | 37 просмотров
0

перезагрузи страницу если не видно

Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

 так как четырехугольник вписанный , то по теореме косинусов                        BD^2 = AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosa \\
BD^2 = BC^2+CD^2+2*BC*CD*cosa \\ 
 
 Положим что точка пересечения диагоналей есть точка O          
откуда из подобия треугольников 
 \Delta BOC ; \Delta AOD               
 \frac{BO}{OC} = \frac{AB}{CD} \\ 
\frac{BO}{OC} = \frac{BC}{AD} \\
 AB*AD=BC*CD 
 откуда сложим первые два выражения          
 AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=2BD^2 

(224k баллов)