Два задания по алгебре за хорошие баллы 11 класс

№ 15.
а) $16^{sinx}=( \frac{1}{4} )^{2sin2x}$
$4^{2sinx}=4^{-2sin2x}$
$2sinx=-2sin2x$
$sinx+2sinx*cosx=0$
$sinx*(1+2cosx)=0$
1) $sinx=0$
$x= \pi k$ , k∈Z
2) $cosx=-0.5$
$x=+-\frac{2 \pi }{3}+2 \pi k$ , k∈Z

б) Выбор корней - см. рисунок.

Ответ: 2П; 8П/3; 3П; 10П/3

№ 16.

а) $8sin^{2}x+2 \sqrt{3}cosx+1=0$
$8(1-cos^{2}x)+2 \sqrt{3}cosx+1=0$
$8-8cos^{2}x+2 \sqrt{3}cosx+1=0$
$8cos^{2}x-2 \sqrt{3}cosx-9=0$

Замена: cosx=t∈[-1;1]

$8t^{2}-2 \sqrt{3}t-9=0, D=12+4*8*9=300$
$t_{1}= \frac{2 \sqrt{3}-10 \sqrt{3}}{16}=-\frac{8 \sqrt{3}}{16}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$t_{2}= \frac{2 \sqrt{3}+10 \sqrt{3}}{16}=\frac{12 \sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\ \textgreater \ 1$ - посторонний корень

Вернемся к замене:
$cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$x=+-\frac{5 \pi }{6}+2 \pi k$ , k∈Z

б) Выбор корней - см. рисунок.

Ответ: -19П/6; -17П/6