С4 В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны...

Question

С4 В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно
перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и
перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М.
а) Докажите, что ЕМ – медиана треугольника CED.
б) Найдите ЕМ, если AD = 8 , AB = 4 и угол CDB равен 60

Answer 1

Очень простая задача.
Пусть  EM пересекает AB в точке K.
Тогда
∠MED = ∠BEK;
∠BEK = ∠BAE; (стороны углов перпендикулярны)
∠BAE = ∠EDC; (вписанные углы, оба опираются на дугу CB)
=> ΔEMD - равнобедренный; EM = MD;
На гипотенузе прямоугольного ΔCED есть только одна точка, равноудаленная от вершины прямого угла и вершины острого - её середина.
а) доказано.
б) Если ∠CDB = 60°; то ∠EAB = 60°;
AE = AB*cos(60°) = 2;
ED^2 = AD^2 - AE^2 = 60; ED = √60;
Само собой, ED = EM, так как ΔEMD в данном случае равносторонний (все углы 60°);