Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается боковых сторон АВ и CD в...

Question

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается боковых сторон АВ и CD в точках M и N соответственно. Отрезок AN пересекает окружность в точке K, а луч MK пересекает основание AD в точке L.
а) Докажите, что треугольники AKL и МAL подобны.
б) Найдите отношение AL:LD.

Answer 1

A) Из симметрии всей этой "конструкции" MN II AD; поэтому ∠KAL = ∠MNK; но ∠MNK = ∠AMK; (поскольку эти углы "измеряются" половиной дуги MK);
то есть у треугольников AKL и MAL ∠ALM общий, а ∠AML = ∠KAL; следовательно эти треугольники подобны по двум углам.
б) Из той же симметрии следует ∠KAL = ∠MDA; => ∠MDA = ∠AML; то есть получается, что есть еще один треугольник, подобный AKL и MAL - это треугольник AMD;
то есть AL/AM = AM/AD;
Если обозначить P - точка касания AD с окружностью, то AM = AP; и (опять таки - из симетрии :) ) AP = AD/2;
получилось AM = AD/2;
AL = AM^2/AD = AD/4; AL/AD = 1/4;
довольно странный результат - получается L - середина AP;

Comments

А какое отношение AL/LD?

---

Al/AD=1/4 это я понял

---

То что L середина, действительно странно

---

Ой, там надо AL/LD:))) так это же проще простого - AL = AD/4; LD = AD - AD/4 = 3*AD/4; AL/LD = 1/3;