Найдите площадь треугольника, образованного прямой y=2-x, осью Ox и касательной,...

1) Найдем уравнение касательной:
$Y=y(a)+y'(a)*(x-a)$
$y(x)=-x^{2}+2x+1$
$y(x_{0})=y(0)=1$
$y'(x)=-2x+2$
$y'(0)=2$

$Y=1+2x$

2) Начертим графики функций:
$y=2x+1$
$y=2-x$
$y=0$
(см. рисунок, прикреплен)

3) Площадь фигуры найдем через интеграл. Для этого необходимо найти точки пересечения графиков:
3.1) $2x+1=2-x$
$3x=1$
$x= \frac{1}{3}$
3.2) $2x+1=0$
$x=-\frac{1}{2}$
3.3) $2-x=0$
$x=2$

4) Площадь треугольника равна:
$S= \int\limits^{\frac{1}{3}}_{-0.5} {(2x+1)} \, dx +\int\limits^{2}_{\frac{1}{3}} {(2-x)} \, dx=(x^{2}+x|^{\frac{1}{3}}_{-0.5})+(2x- \frac{x^{2}}{2}|^{2}_{\frac{1}{3}})=(\frac{1}{9}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2})+(4-2-\frac{2}{3}+\frac{1}{18})=\frac{1+3-2}{9}+\frac{-1+2+8}{4}+\frac{1}{18}=\frac{7}{18}+\frac{9}{4}=\frac{95}{36}$