Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды,равное12см,образует с плоскостью...

0 голосов
272 просмотров

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды,равное12см,образует с плоскостью основания угол 60градусов.найдите боковую поверхность пирамиды и объем


Математика (15 баллов) | 272 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
SABCD - правильная четырехугольная пирамида

SO =H - высота пирамиды

SK=l- апофема

SC=12 см

\ \textless \ SCO=60^\circ

Так как SABCD - правильная четырехугольная пирамида, значит в основании лежит квадрат, т.е. ABCD

AC ∩ BD=O

V_{n} = \frac{1}{3} S_{ocn}*H

S_{bok}= \frac{1}{2} P_{ocn}*l

SO ⊥ (ABC), значит Δ SOC- прямоугольный

\frac{SO}{SC} =sin 60^\circ

SO=SC*sin60^\circ =12* \frac{ \sqrt{3} }{2} =6 \sqrt{3} см

\frac{OC}{SC} =cos60^\circ

OC=SC*cos60^\circ =12* \frac{1}{2} =6 см

AC=2OC=2*6=12 см

AC=d - диагональ квадрата

d=a \sqrt{2}

a \sqrt{2} =12

a= \frac{12}{ \sqrt{2} } = \frac{12 \sqrt{2} }{2} =6 \sqrt{2} см,  где a - сторона квадрата

S_{ocn}=a^2=(6 \sqrt{2} )^2=36*2=72 см²

V_{n}= \frac{1}{3} *72*6 \sqrt{3} =144 \sqrt{3} см³

P_{ocn}=4a=4*6 \sqrt{2}=24 \sqrt{2} см

OK= \frac{1}{2} AD= \frac{1}{2}*6 \sqrt{2} =3 \sqrt{2} см

Δ SOK - прямоугольный

по теореме Пифагора найдём 

SK= \sqrt{SO^2+OK^2}= \sqrt{(6 \sqrt{3})^2+(3 \sqrt{2} )^2 } = \sqrt{108+18}= \sqrt{126}=3 \sqrt{14} см

S_{bok}= \frac{1}{2}*24 \sqrt{2} *3 \sqrt{14}=36 \sqrt{28}=36*2 \sqrt{7} =72 \sqrt{7} см²

Ответ:  72 \sqrt{7} см² ;  144 \sqrt{3} см³




image
(83.6k баллов)