Помогите с полным объяснением tgx+8 \ctg x\+ctg2x=0

$tgx+8|ctgx|+ctg2x=0$
$1)ctgx\ \textless \ 0$
$\frac{1}{ctgx}-8ctgx+\frac{ctg^2x-1}{2ctgx}=0$
$2-16ctg^2x+ctg^2x-1=0$
$-15ctg^2x+1=0$
$ctg^2x=\frac{1}{15}$
$\left[\begin{array}{ccc}ctgx=\frac{1}{\sqrt{15}}(ctgx\ \textless \ 0)\\ctgx=-\frac{1}{\sqrt{15}}\end{array}\right]$
$ctgx=\frac{1}{\sqrt{15}}$
$x=\pi-arcctg(\frac{1}{\sqrt{15}})+\pi n;n\in Z$

$2)ctgx\ \textgreater \ 0$
$\frac{1}{ctgx}+8ctgx+\frac{ctg^2x-1}{2ctgx}=0$
$2+16ctg^2x+ctg^2x-1=0$
$17ctg^2x+1=0$
$ctg^2x=-\frac{1}{17}$

Решений нет.

Ответ: $x=\pi-arcctg(\frac{1}{\sqrt{15}})+\pi n;n\in Z$