- 1
Давайте выразим x из первого уравнения и подставим его во второе.
x = a - y
(a-y)^2 + y^2 = 1
Рассмотрим более подробно последнее уравнение. Раскроем в нём скобки и поглядим, к чему дело придёт.
(y-a)^2 + y^2 = 1
y^2 - 2ay + a^2 + y^2 - 1 = 0
2y^2 - 2ay + a^2 - 1 = 0
Итак, мы получили квадратное уравнение. Для того чтобы уловить ответ на вопрос задачи, давайте рассмотрим это уравнение и x = a - y вместе. Что мы знаем о квадратном уравнении? Оно имеет либо два различных решения, либо имеет одно решение, либо же вовсе их не имеет.
Сразу можем отмести последний случай - если нет корней у уравнения, то дальше и говорить не о чем.
Пусть квадратное уравнение имеет единственный корень. Ну тогда смотрим, что будет с уравнением x = a-y. Оно тоже имеет одно решение, что довольно очевидно. Понятное дело, что единственному y соответствует лишь единственный x.
А вот случай двух различных корней нам полностью подходит. Когда квадратное уравнение имеет два корня? Очевидно, когда его дискриминант положителен. Ищем D:
D = 4a^2 - 8(a^2-1) = 4a^2 - 8a^2 + 8 = -4a^2 + 8
Исходя из изложенного
-4a^2 + 8 > 0
a^2 - 2 < 0
Решением неравенства служит интервал (-sqrt2; sqrt2). Все такие а и есть решение задачи. нам же нужно выбрать наибольшее целое из этого интервала. sqrt2 - это приблизительно 1.4, значит, наибольшее целое - это a = 1
2
Присматриваемся к уравнению некоторое время, и замечаем, что оно квадратное.
Подумаем, когда же квадратное уравнение может иметь два различных отрицательных корня. Ну во-первых, корней должно быть два и они должны быть различными. Эту ситуацию у нас "обслуживает" дискриминант. Совершенно понятно, что для двух различных корней он должен быть положителен. Так, с этим разобрались. А вот что дальше? Дискриминант не обеспечивает же то, каковы корни по знаку, значит нам нужно что-то ещё. И это что-то - теорема Виета. Вспомните: если у нас есть уравнение x^2 + bx + c = 0, то для него справедливо следующее:
1)x1 * x2 = c,
2)x1 + x2 = -b
Здесь x1 и x2 - корни квадратного уравнения.
Как мы этим воспользуемся? А очень просто. Если оба корня отрицательны, то из произведение положительно, а сумма отрицательна. Значит, у нас x1 * x2 > 0, а x1 + x2 < 0. Останется просто записать это всё через теорему Виета. Основную идею мы нашли. Теперь приступим к реализации.
x1 + x2 = 3 - 2a, а x1 * x2 = a^2 - 2a
Тогда для выполнения требования нам нужно, чтобы
D > 0
3 - 2a < 0
a^2 - 2a > 0
Осталось найти D, решить полученную систему и получить ответ.
D = (2a-3)^2 - 4(a^2 - 2a) = 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 + 8a = -4a + 9
-4a + 9 > 0
4a - 9 < 0
a < 9/4
3-2a < 0
2a > 3
a > 3/2
a^2 - 2a > 0
a(a - 2) > 0
Решением этого неравенства служит объединение
a < 0 и a > 2
Осталось решения этих трёх неравенств пересечь между собой, и мы получаем окончательный ответ:
2< a < 9/4