По условию прямая у=3х+1 - касательная к графику функции у=ах²+2х+3. Следовательно эти функции имеют одну общую точку. Найдём эту точку:
ах²+2х+3=3х+1
ах²+2х+3-3х-1=0
ах²-х+2=0
D=(-1)²-4*a*2=1-8a
D=0 (т.к. имеется лишь одна общая точка)
1-8a=0
8a=1
a=1/8
Ответ: 1/8