Пусть a+b+c=1 и a, b, c >0. Найдите минимум a²+2b²+c².

$a+b+c=1\\$ , из известных неравенств ,    $a^2+b^2 \geq 2ab\\ b^2+c^2 \geq 2bc\\$ суммируем
$a^2+2b^2+c^2 \geq 2ab+2bc$ можно сделать вывод что при $a=c$     $a^2+2b^2+c^2$ и достигает наименьшего значения
$a^2+2b^2+c^2 \geq 4ab\\ 2a^2+2b^2 \geq 4ab\\ 2a+b=1\\ \\ a^2+2b^2+c^2 \geq 2a^2+2(1-2a)^2$
Рассмотрим функцию
  0\\ " alt="f(a)=2a^2+2(1-2a)^2\\ f(a)=10a^2-8a+2\\ 10>0\\ " align="absmiddle" class="latex-formula"> это график параболы , и ее ветви направлены вверх относительно оси $OY$
По известной формуле $f_{min} = \frac{8}{2*10} = \frac{2}{5}$
Ответ наименьшее значение функций равно $f_{min}=\frac{2}{5}$ ,ооно достигается при $a=c=\frac{2}{5}\\ b=\frac{1}{5}$