Сколько натуральных чисел из отрезка [2012;3000] удовлетворяет уравнению...

Question

Сколько натуральных чисел из отрезка [2012;3000] удовлетворяет уравнению НОД(2Х;3)=НОД(Х;6)

Answer 1

Т.к. 3 не делится на 2, и 2 - простое число, то НОД(2х;3)=НОД(х;3), который в свою очередь может равняться только 1 или 3.
Если х - четное, то НОД(х,6) делится на 2, и поэтому равенства из условия быть не может.
Еси х - нечетное, то НОД(х,6)=НОД(х,3) и равенство будет выполнено. Поэтому равенству из условия удовлетворяют любые нечетные числа. Количество нечетных чисел в интервале [2012;3000] равно (3000-2012)/2=494.

Comments

а почему появилась запись НОД(2х;3)=НОД(х;3) и НОД(х,6)=НОД(х,3)

---

В первом случае: НОД - это число которое делит и 3 и 2х. значит оно равно 1 или 3. Значит оно нечетное. Значит если оно делит 2х, то оно делит и х. Т.е. эти ноды равны. И второе аналогично: в шестерке присусттвует двойка, которая отсутствует в х (потому что оно нечетное) и в 3. Поэтому вместо 6 можно оставить 6/2=3.

---

Общее правило: если НОД(x,y)=1, то НОД(x,yz)=НОД(x,z) Это потому что в y отсутствуют общие делители с x и поэтому оно не влияет на НОД.

---

Вот это правило здесь и применяется два раза. Один раз для этого НОД(2х;3)=НОД(х;3), и другой раз для НОД(х,6)=НОД(х,3) в случае нечетного x.

---

2013/3=671
2016/3=672
2019/3=673
2022/3=674
2025/3=675
2028/3=676
Выберем все числа, которые делятся на 3(признак делимости на 3) и на 6, установила закономерность
2016+6*n=3000 (3000-2016)/6=164
Ответы у нас с Вами не совпали

---

.что-то я не понял ваших рассуждений. Зачем вы их делите на 3? Если вы думаете, что числа вида 2016+6n - это все числа удовлетворяющие условию, то как раз наоборот - ни одно из них ему не удовлетворяет. Равенству в условии удовлетворяют только нечетные числа, причем каждое из них. Чтобы выполнялось равенство не обязательно, что бы х делилось на 3. НОД ведь может быть равен 1, но он будет и слвева и справа 1.