Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если а , b и c — любые рациональные числа, то
а + b = b + а , а + (b + с) = (а + b) + с .
Например:
13 + 517 + 23 = ( 13 + 23) + 517 = 1 + 517 = 1 517 ;
513 + 221 – 1 513 = 221 + ( 513 – 1 513) = 221 + (– 1) = – ( 2121 – 221) = – 1921 .
Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем:
а + 0 = а , а + (– а) = 0 .
Например:
14 + 0 = 14 ; 513 + (– 513) = 0 .
Умножение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Если, а , b и c рациональные числа, то:
ab = ba , a(bc) = (ab)c .
Например:
1315 • 517 • 1 213 = ( 1315 • 1513) • 517 = 1 • 517 = 517 ;
57 • 5 311 : 57 = 57 : 57 • 5 311 = 1 • 5 311 = 5 311 .
Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1 . Значит, для любого рационального числа а имеем:
а • 1 = а ; 523 • 1 = 523 ;
а • 1/a = 1 , если а ≠ 0 ; 523 • 235 = 1 .
Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем:
а • 0 = 0 ; 419 • 0 = 0 .
Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
если а • b = 0 , то либо а = 0 , либо b = 0
(может случиться, что и а = 0 , и b = 0 ) .
Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел а , b и c имеем:
(а + b)с = ас + bс.
Например:
( 37 + 35) • 13 = ( 37 • 13) + ( 35 • 13) = 17+ 15 = 1235 .