Докажите, что если каждое из двух чисел представимо в виде суммы квадратов двух...

Question

Докажите, что если каждое из двух чисел представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то их произведение также можно разложить в сумму квадратов двух целых чисел

Comments

это относится к частному случаю нечетных простых чисел, посмотрите теорему ферма-Эйлера эти числа представимы в виде 4k+1 (k-целое)

---

Мы ее не проходили

---

а как такие задачи вам дают ???? посмотрите она доступна .... или есть такое условие что такие числа при делении на 4 имееют остаток 1

---

Знаю что нечетное число можно представить в виде 2b+1

---

Но получится ли такой эе результат

---

Вы забыли про 2-е условие что оно должно быть суммой квадратов двух натуральных чисел. 2b+1 это число нечетное но для примера 2*1+1-3 или 2*3+1=7 нельзя предвставить в виде двух квадратов. а 4b+1 можно всегда представить в виде суммы двух квадратов 4*3+1=13=3^2+2^2 4*4+1=17=4^2+1^2

---

можно решить без использования теоремы. в виде букв.

Answer 1

Рассмотрим два числа A и В 

Пусть A=a²+b² B=c²+d²  Надо доказать что A*B=x²+z²

A*B=(a²+b²)*(c²+d²)=a²c² + a²d² + b²c² + b²d² = (a²c² + b²d²) + (a²d² + b²c²)  + 2*abcd - 2*abcd = *
1. * = (a²c² +2*ac*bd  +b²d²) + (a²d²  - 2*ad*bc+ b²c²)  = (ac + bd)² + (ad - bc)²

2. *=  (a²c² - 2*ac*bd  +b²d²) + (a²d²  + 2*ad*cd+ b²c²)  = (ac - bd)² + (ad + bc)²

Таким образом нашли x₁₂ = ac + - bd  и z₁₂ = ad - + bc    

доказали что если каждое из двух чисел  представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то их произведение также можно разложить в сумму квадратов двух целых чисел

Comments

А если они например четные то сработает

---

И почему нельзя представить а в виде 2к+1 а не 4к+1

---

на самом деле решение проще

---

и не нужна никакая теореме

---

*теорема