Решите уравнение |x|+|x+1|-x>1

Рассмотрим несколько случаев
1) если $x<-1$ , выражения под модулями отрицательны, значит, когда раскрываем модули, меняем знаки
1\\-x-x-1-x>1\\3x<-2\\x<- \frac{2}{3} " alt="|x|+|x+1|-x>1\\-x-x-1-x>1\\3x<-2\\x<- \frac{2}{3} " align="absmiddle" class="latex-formula">
с учетом рассматриваемого промежутка $x<-1$

2) если $-1 \leq x<0$ , выражение под первым модулем отрицательно, под вторым - не отрицательно
1\\-x+x+1-x>1\\x<0" alt="|x|+|x+1|-x>1\\-x+x+1-x>1\\x<0" align="absmiddle" class="latex-formula">
c учетом рассматриваемого промежутка $x\in[-1;0)$

3) если $x \geq 0$ , выражения под модулями неотрицательны
1\\x+x+1-x>1\\x>0" alt="|x|+|x+1|-x>1\\x+x+1-x>1\\x>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
c учетом рассматриваемого промежутка 0" alt="x>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Таким образом, общий ответ $x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$