Неприятности начались летом, когда в старом деревенском доме появилась кривоногая такса, привезённая из Москвы и оставленная на прокорм.
Неприятности начались - первая грамматическая основа, неприятности - подлежащее, начались - сказуемое.
Появилась такса - вторая грамматическая основа, появилась - сказуемое, такса - подлежащее.
Запятая перед союзом "когда" обозначает границу между простыми предложениями в сложноподчинённом предложении. Вторая запятая обособляет причастный оборот. Причастие - "привезённая" и "оставленная".