Профессоры, знатоки по математике... помогите Боковая сторона равнобочной трапеции равна...

0 голосов
48 просмотров

Профессоры, знатоки по математике... помогите

Боковая сторона равнобочной трапеции равна ее меньшей основе. Каким должен быть угол при большие основе трапеции, чтобы ее площадь была наибольшей

Геометрия | 48 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Пусть АВСД трапеция. ВМ и СN высоты проведенны с вершины В и С соотвестенно. Обозначим АВ=ВС=СД=MN=a.
AD=2AM+a

С з\,\,ABC(угол АМВ=90градусов):
\cos A= \frac{AM}{AB} ;\,\, AM=\cos A\cdot AB \\ \\ \sin A= \frac{BM}{AB} ;\,\,BM=\sin A\cdot AB
Площадь трапеции: S= \frac{BC+AD}{2} \cdot BM= \frac{a+a+2a\cos A}{2}\cdot a\sin A =a^2(1+\cos A)\sin A

Рассмотрим функцию:
y=a^2(1+\cos A)\sin A=a^2(\sin A+\cos A)
Проивзодная функции:
y'=a^2(2\cos^2 A+\cos A-1)
Приравняем производную функцию
y'=0 \\ 2\cos^2A+\cos A-1=0
 Пусть \cos A=t, где |t|≤1, тогда имеем
2t^2+t-1=0 \\ D=b^2-4ac=1+8=9 \\ t_1=-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t_2= \frac{1}{2}
Возвращаемся к замене
\left[\begin{array}{ccc}\cos A= \frac{1}{2} \\\cos A=-1\end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}A=60а\\...\end{array}\right

Итак, угол при большей основе - 60 градусов

Ответ: 60а
Похожие задачи