Только самый умный и усидчивый ботан сможет решить!Слабакам не смотреть сюда...

$\cos2x+\cos x+1=0 \\ 2\cos^2x-1+\cos x+1=0 \\ 2\cos^2x+\cos x=0 \\ \cos x(2\cos x+1)=0 \\ \left[\begin{array}{ccc}\cos x=0\\ \cos x=- \frac{1}{2} \end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}x_1= \frac{\pi}{2}+ \pi k,k \in Z\\ x_2=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,n \in Z \end{array}\right$

$\sin^2x+\sin x\cos x-2\cos^2x=0|:\cos^2x \\ tg^2x+tg x-2=0$
Пусть tg x=t, тогда получаем
$t^2+t-2=0$
По т. Виета
$t_1=1 \\ t_2=-2$
Возвращаемся к замене
$\left[\begin{array}{ccc}tg x=1\\ tgx=-2\end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}x_1= \frac{\pi}{4}+\pi n,n \in Z\\ x_2=-arctg2 + \pi n,n \in Z \end{array}\right$

$\sin 2x-2\cos 2x=0|:\cos 2x \\ tg 2x-2=0 \\ tg2x=2 \\ 2x=arctg2+ \pi n,n \in Z \\ x= \frac{arctg2+\pi n}{2} , n \in Z$

$\sin x+\sin 5x+\cos 2x=0 \\ 2\sin 3x\cos 2x+\cos 2x=0 \\ \cos 2x(2\sin 3x+1)=0 \\ \left[\begin{array}{ccc}\cos 2x=0\\ \sin 3x=- \frac{1}{2} \end{array}\right\to \left[\begin{array}{ccc}x_1= \frac{\pi}{4}+ \frac{\pi n}{2}, n \in Z \\ x_2=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{18}+ \frac{\pi k}{3}, k \in Z \end{array}\right$