Число N равно произведению 200 простых чисел (не обязательно различных). Если каждый...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Запишем условие $N=x_{1}x_{2}x_{3}*...*x_{200}\\ N_{1}=(x_{1}+1)(x_{2}+1)(x_{3}+1)*...(x_{200}+1)\\$
где $x_{1};x_{2};x_{3}...x_{200}$ - простые числа
По условия $\frac{N_{1}}{N} \in C$ целое .
Если все числа $x_{1};x_{2}...$ будут действительно различные, то из выражения
$\frac{N_{1}}{N}= (1+\frac{1}{x_{1}})(1+\frac{1}{x_{2}})(1+\frac{1}{x_{3}})*...(1+\frac{1}{x_{200}})$ с учетом того что данные числа простые, как минимум среди них будет множитель $2^{200}$ ,потому что $x_{1}+1;x_{2}+1...;x_{200}+1$ уже четные числа. Запишем как $2^{200}*(\frac{a_{1}}{x_{1}})*(\frac{a_{2}}{x_{2}})*(\frac{a_{3}}{x_{3}})*...* (\frac{a_{200}}{x_{200}})$ так как $a_{n}<x_{n}$
То следует что, числа в каждой дроби будут взаимно простые между собой.
То есть не дадут целое числа в итоге, теперь рассмотрим случаи когда числа равные между собой, то есть предположим что среди них есть числа равные между собой .
для начало положим что $N=2^a*3^b*5^c$
$a+b+c=200$
откуда получаем , после преобразований
$3^{200-2b}*2^{b-2a+200}*5^{a+b-200}$
так как числа все простые , то есть не одно число не делится на другой без остатка , то
0\\ b-2a+200>0\\ a+b-200>0" alt="200-2b>0\\ b-2a+200>0\\ a+b-200>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
откуда с последнего неравенства, решения будут при целых $a+b=201$ то есть все числа должны давать в сумме $201$ , но тогда $c<0$ что не противоречит условию
Теперь увеличим наше число до $4$ простых числа
$2^a*3^b*5^c*13^d\\ a+b+c+d=200\\$
так же после всех преобразований получаем
0\\a-b+c>0\\-a-b-c+200>0\\a+b+c-200>0" alt=" c<0\\ -2a+b+200>0\\a-b+c>0\\-a-b-c+200>0\\a+b+c-200>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
но отсюда так же следует что 200" alt="a+b+c>200" align="absmiddle" class="latex-formula"> что противоречит 0" alt="d>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
И теперь очевидно для $n$ взятого простого числа так же будет справедлива это тождество.

Теперь рассмотрим случай 0\\ 3b-200>0\\\\ b<100\\ b>\frac{200}{3}" alt=" N=2^a*3^b\\ N_{1}=3^a*2^{2b}\\ \frac{N_{1}}{N} = \frac{3^a*2^{2b}}{2^a*3^b} = 3^{a-b}*2^{2b-a}\\ a+b=200\\ 3^{200-2b}*2^{3b-200}\\ 200-2b>0\\ 3b-200>0\\\\ b<100\\ b>\frac{200}{3}" align="absmiddle" class="latex-formula">
откуда $[ \frac{200}{3} ]= 66\\ 100-66=33$ решения
Ответ $33$

И это все является решением для 6-классника, так как использованы обычные работы со степенями и неравенствами

Матов_zn (224k баллов) 01 Апр, 18

У меня есть серьезные подозрения ,что авторы составили ее думая что это правильно . И задали ее. А через некоторое время поняли, что их обоснование было не полным. И теперь якобы отговариваютcя. Потому что за это время не придумали ничего другого :). Я не знаю мнимое ли решение у матова или не мнимое,но возможно, что обоснования этого факта не существует вовсе :) И если у Матова все верно. Это круто и более чем.

оставил комментарий mathgenius_zn (11.7k баллов) 01 Апр, 18

Судя по тому что я видела на разборе решение Матова верное.
А вот на счёт того что составители в некоторых задачах напортачили это точно к сожалению. Была даже такая задача в которой было задано условие на столько витиевато что решить её можно было только зная то что знали сами составители об этой задаче. Решение её было действительно очень простым, вот только прийти к нему с данным условием было не реально практически.

оставил комментарий fishfaer_zn (189 баллов) 01 Апр, 18