По лесу(по чему?) Д.п.
дятел ( кто?) - И.п.
на дереве (на чём?) П.п.
на ствол(на что?) В.п.
за кору (за что?) В.п.
коготками (чем?) Т.п.
хвостик (что?) В.п.
по стволу (по чему?) Д.п.
дерева (чего?) Р.п.
клювом (чем?) Т.п.
дерево (что?) В.п.
под корой (под чем?) Т.п.
вредителя(кого?) Р.п.
деревья (что? ) В.п.
по на за под -предлоги