По расширенной теореме синусов
AC\sin B=AB\sin c=BC\sin A=2R
BC=a
A=180-B-C
A\2=90-B\2-C\2
значит R=BC\(2sin A)=a\(2sin (180-B-C))=a\(2sin (B+C))
по свойству вписанных углов спряжающих одну и ту же дугу
угол СВК=угол А\2=угол ВСК
окружность описання вокруг треугольника АВС будет и описанной окружностью вокруг треугольника АВК
По расширенной теореме синусов
АК\sin (В+А\2)=2R
АК=2R * sin (В+А\2)=2*a\(2sin (B+C))*sin (B+90-B\2-C\2)=
=a\(sin (B+C))*sin (90+B\2-C\2)=a\(sin (B+C))*cos (C\2-B\2)=
=a\(sin (бетта+гамма.))*cos (гамма.\2-бетта\2)