Найти площадь фигуры ограниченной линиями x^(1/2)+y^(1/2)=a^(1/2) и x+y=a

выразим y:

x^(1/2)+y^(1/2)=a^(1/2)
y^(1/2) = a^(1/2) - x^(1/2)
y = [a^(1/2) - x^(1/2)]^2 = a + x - 2(ax)^(1/2);

x+y=a

y = a - x

Найдем точки пересечения этих функций, приравняв их:

a + x - 2(ax)^(1/2) = a - x

2x = 2(ax)^(1/2)

x = (ax)^(1/2)

x^2 = ax
x^2 - ax = 0

x(x - a) =

x = 0 и x = a точки пересечения

Площадь фигуры - это интеграл, где точки пересечения - это пределы интегрирования

$\int\limits^a_0 {(a+x-2\sqrt{a}x})-(a-x) \, dx =\\ =\int\limits^a_0 {(a+x-2\sqrt{a}x}-a+x) \, dx =\\ =\int\limits^a_0 {(2x-2\sqrt{a}x}) \, dx =\\ =(2\frac{x^{2}}{2}-2\sqrt{a}\frac{x^{2}}{2})|^{a}_{0}=\\ =(x^{2}-\sqrt{a}x^{2})^{a}_{0}=\\$

$(x^{2}-\sqrt{a}x^{2})|^{a}_{0}=\\ =x^{2}(1-\sqrt{a})|^{a}_{0}=\\ =a^{2}(1-\sqrt{a})$