Рациональное число — число, представляемое, числитель —, а знаменатель — , к примеру 2/3. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например,, древние египтяне и греки.Содержание
Множество рациональных чисел обозначается При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, и , (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со целым числителем и натуральным знаменателем:Здесь — наибольший общий делитель чисел и .Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества . Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель , то является целым числом.Множество рациональных чисел располагается : между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет (то есть все его элементы можно перенумеровать). Со времён известно о существовании чисел, не представимых в виде дроби: они доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум. Недостаточность рациональных чисел для выражения всех величин привела в дальнейшем к понятию В отличие от множества вещественных чисел (которое соответствует множество рациональных чисел