База: n=1 1*4=1*(1+1)^2 верно
Переход: предположим, что существует k=n, где 1*4+...+ к(3к+1)=к(к+1)^2 - верно
Докажем, что это утверждение верно для n=k+1, то есть 1*4+...к(3к+1)+ (к+1)(3к+4)=(к+1)(к+2)^2
1*4+...к(3к+1)+ (к+1)(3к+4)=к(к+1)^2+ (к+1)(3к+4)=(к+1)(к^2+к+3к+4)=(к+1)(к^2+4к+4)=(к+1)(к+2)^2
По аксиоме индукции утверждение верно для любого натурального n.