доказательство
база индукции n=1
2+18+60+...+n(n+1)(2n-1)=2=2
1/6n(n+1)(n+2)(3n-1) =
1/6*1*(1+1)*(1+2)*(3*1-1)=2
утверждение справедливо.
Предположение индукции.
Пусть для n=k>=1
выполняется данное утверждение, т.е.
2+18+60+...+k(k+1)(2k-1)=1/6k(k+1)(k+2)(3k-1)
Индукционный переход. Докажем, что тогда оно выполняется и для
n=k+1:
2+18+60+...+k(k+1)(2k-1)+(k+1)(k+2)(2k+1)=используем предположение=
1/6k(k+1)(k+2)(3k-1)+(k+1)(k+2)(2k+1)=выносим общие множители=
1/6(k+1)(k+2)*(k(3k-1)+6(2k+1))= преобразуем к нужному виду=
1/6(k+1)(k+2)*(3k^2-k+12k+6)=
=1/6(k+1)(k+2)*(3k^2+11k+6)=
=1/6(k+1)(k+2)*(3k^2+2k+9k+6)=
=1/6(k+1)(k+2)*(k(3k+2)+3(3k+2))=
1/6(k+1)(k+2)*(k+3)(3k+2)=
=1/6(k+1)(k+1+1)*(k+1+2)*(3(k+1)-1)
доказано.
по ММИ данное утверждение справделивого для любого натурального n