1. по прежнему пути-предлог+имя прилагательное+имя существительное, по пути (какому?) прежнему, пишем раздельно
2. жить по-прежнему-глагол+наречие, жить (как?) по-прежнему, пишем через дефис
3. по-прежнему дорог-наречие+краткое прилагательное (каков? н.ф.-дорого`й), дорог (как?) по-прежнему, пишем через дефис