Уравнение медианы: М=(1/2)*√(2a²+2b²-c²).
Тогда СN=(1/2)*√(2CS²+2CD²-SD²)=3√6.
CN=BM=3√6.
MP=NP=3√6 (так как MN - средняя линия треугольника ВРС).
PQ -медиана. PQ=(1/2)*√(2MP²+2NP²-MN²)=(1/2)*√(4*54-9)=1,5√23.
Тогда площадь треугольника MPN:
Smpn=(1/2)*PQ*MN=(1/2)*1,5√23*3=2,25√23.
Из формулы для медианы SN треугольника РSC найдем сторону SP.
SN=(1/2)*√(2CS²+2SP²-CP²). Или 6=(1/2)*√(288+2SP²-216), так как СP=NP+HC=6√6. Тогда 12=√(72+2SP²). Или 144=72-2SP². Отсюда
SP=√36=6. Мы видим, что SP=SM=Sn=6. Следовательно, в пирамиде SMPN боковые ребра равны, а это значит, что вершина S проецируется в центр описанной окружности треугольника MPN, радиус которой равен по формуле: R=abc/4S.
В нашем случае R=3*54/9√23=18/√23.
Тогда из прямоугольного треугольника PSH имеем по Пифагору:
SH=√(SP²-PH²)=√(SP²-R²)=√(36-324/23)=√(36-324/23)=
=√(504/23)=6√14/√23.
Ответ: расстояние от вершины S до плоскости ВСМ равно 6√14/√23.
Второй вариант - координатный метод.
Так как пирамида правильная, в основании - квадрат.
Диагональ квадрата равна в нашем случае 6√2.
Высота пирамиды по Пифагору SO=√(SC²-OC²)=√(144-18)=3√14.
Даны точки: В(0;0;0), С(6;0;0), М(1,5;1,5√14;4,5). S(3;3√14;3). Составим уравнение плоскости через три точки:
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
|x - xВ xС-xВ xМ-xВ|
|y - yВ yС-yВ yМ-yВ| = 0.
|z - zВ zС-zВ zМ-zВ|
Подставим данные трех наших точек:
|x-0 6-0 1,50 | |x-0 6 1,5 |
|y-0 0-0 1,5√14-0 | = 0. Или |y-0 0 1,5√14 | = 0.
|z-0 0-0 4,5 0 | |z-0 0 4,5 |
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
|0 1,5√14 | |6 1,5| |6 1,5 |
(х-0)*|0 4,5 | - (y-0)*|0 4,5| +(z-0)*|0 1,5√14| =0.
(х-0)(0-0)-(y-0)(27-0)+(z-0)(9√14-0)=0. Или
0х-27y+9√14z=0.
Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки S(Sx, Sy, Sz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:
d=|A*Sx+B*Sy+C*Sz+D|/√(A²+B²+C²) или
d=|0-27*3√14+9√14*3+0|/√(0+729+1134)=
54√14/√1863=9*6√14/9√23=6√14/√23.
Ответ: расстояние от вершины пирамиды до плоскости ВСМ равно 6√14/√23.
