Напишите уравнение окружности, вписанной в ромб с диагоналями 8 и 10, если извесно, что...

диагонали лежат на осях координат, значит точка их пересечения, а следовательно и центр вписанной окружности лежит в начале координат

Диаогонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Диагонали ромба перпендикулярны.

Квадрат длины высоты прямоугольного треугольника проведенной на гипотенузу равен произведению катетов.

Поэтому радиус вписанной в ромб окружности равен

$r=\sqrt{\frac{8}{2}*\frac{10}{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5};$

r^2=20;

Уравнение окружности с центром в начала координат имеет вид

$x^2+y^2=R^2$

поэтому искомое уравнение имеет вид

$x^2+y^2=20$