Область допустимых значений равно 9^x+16^x-9*4^x+8>0 надо ли его решать

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$log_3(9 ^{x}+16 ^{x}-9\cdot 4 ^{x}+8) \geq 2x$
Справа припишем
$1=log_33$
$log_3(9 ^{x}+16 ^{x}-9\cdot 4 ^{x}+8) \geq 2x\cdot log_33$
Применяем формулу логарифма степени к выражению справа:
$log_3(9 ^{x}+16 ^{x}-9\cdot 4 ^{x}+8) \geq log_33 ^{2x}$
Логарифмическая функция с основанием 3 - возрастающая, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому
$9 ^{x}+16 ^{x}-9\cdot 4 ^{x}+8 \geq 3 ^{2x}$
Так как

0" alt="3 ^{2x}>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
то неравенство

0 " alt="9 ^{x}+16 ^{x}-9\cdot 4 ^{x}+8 >0 " align="absmiddle" class="latex-formula">
выполняется и подавно, если выполняется неравенство
$9 ^{x}+16 ^{x}-9\cdot 4 ^{x}+8 \geq 3 ^{2x}$
Решаем последнее неравенство.
$16 ^{x}-9\cdot 4 ^{x}+8 \geq 0$
Квадратное неравенство, решаем заменой переменной
$4 ^{x}=t \\ 16 ^{x}=t ^{2}$
t²-9t+8≥0
D=(-9)²-4·8=81-32=49=7²
Корни квадратного трехчлена t²-9t+8
t=(9-7)/2=1 или t=(9+7)/2=8
\\\\\\\\\\\\\ //////////////////////
---------[1]---------------[8]---------------
t≤1 или t≥8
Возвращаемся к переменной х:
$4 ^{x} \leq 1\Rightarrow 4 ^{x} \leq 4 ^{0} \Rightarrow x \leq 0$
или
$4 ^{x} \geq 8\Rightarrow 2^{2x} \geq 2 ^{3} \Rightarrow 2x \geq 3\Rightarrow x \geq 1,5$
Ответ. (-∞;0]U[1,5;+∞)

nafanya2014_zn (414k баллов) 29 Март, 18