Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения....

$\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{5\cdot 2^{n}}\\\\a_{n}=\frac{1}{5\cdot 2^{n}},\; \; \sum\limits _{n=1}^{\infty}b_{n}=\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}\; -\; geometricheskij\; ryad,\; sxoditsya\\\\\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{2^{n}}{5\cdot 2^{n}}=\frac{1}{5}\ne 0\; \; \Rightarrow$

оба ряда ведут себя одинаково, то есть сходятся.